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【MiCOKit3165开发套件试用体验】7、传热模型

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发表于 2018-9-4 17:23:53 | 显示全部楼层 |阅读模式
*本文作者徐珂靖

上一篇文章中,我测试了温度传感器DHT11的读取。

我们做个猜想,在鱼缸水温控制系统中,可不可以不读取水温,用当前的室温来控制鱼缸的温度。
我们来设计一个计算加热棒输出功率的函数,输入量是室温,控制目标是水温保持25摄氏度。


什么?你在搞笑吗!!
台下发出如包邮般的笑声。



其实呢,这是个基于物理模型的控制,输入量是鱼缸各尺寸和实时室温,并且模型中的各个系数具有实际的物理意义。

今天我要给大伙儿分享点干货,要讨论一下温度控制中内在的物理机理。

先来讲一个故事:小明买了个大水族箱,用来养热带鱼。但是小明家晚上的室温只有15摄氏度,自来水温度也只有15摄氏度,所以小明从热水器里接了些热水把鱼缸水温调到25摄氏度,然后往鱼缸里插了根100瓦的加热棒。小明把温控器(开关控)调到28摄氏度,看见加热棒工作指示灯亮了,于是就回去睡觉了。第二天醒来,鱼缸水温20度,不升反降。小明同学很聪明,马上意识到最大加热功率不够大,马上去水族店买回一根300瓦的加热棒,用可控硅把输出功率调到200瓦。第二天发现功率调得有些小,水温还是没到设置值28度,但很稳定的保持在25度。于是小明就不折腾了,就这么凑活着用吧。
  过了几天,小明发现了一个规律,当室温15度的时候,把加热棒输出控在200瓦就可以保持水温25度。到了中午,室温20度的时候,200瓦的功率会把水温加热太高,此时只要大约100瓦就可以让水温保持在25度了。

从上面这个故事中,我们发现:使用加热棒控制鱼缸温度,若加热棒的功率选得比较小,但是鱼缸水体又太大,即使加热棒不间断地持续工作,但始终不能把鱼缸水温加热到设定温度。

这绝对是个非常让人沮丧的结果,不管怎么加热,温度好像被封印了一样,就是上不去了,永远也达不到设定温度。

今天的这篇文章,就是要向大家解释这个疑问,为什么即使持续加热,温度仍然保持稳定。

在这个过程中,如果你把手伸到水下去摸加热棒,你会发现加热棒的温度是要比鱼缸的水温高的。这说明这是个持续地从加热棒往鱼缸水体传热的过程。

之所以温度加不上去,是因为另一个传热现象——鱼缸水体同时也在向空气传导热量。
工程中称该稳定状态为热力学平衡。

说到热力学,我要介绍一下热力学里的几个经典概念。
单位时间内通过单位面积传递的热量称热流密度,也叫热通量。一般用q表示,定义为:单位时间内,通过物体单位横截面积上的热量。
q=Q/(S*t)
式中,Q为热量 t为时间 S为截面面积
按照国际单位制,时间为秒,面积为平方米,热量取单位为焦耳,相应地热流密度单位为:焦每平方米秒


热力学里有三个非常实用的公式,分别为傅里叶定律、牛顿冷却公式和斯忒潘-玻尔兹曼定律。
傅立叶是个伟大的数学家,还是个物理学家。在数学中,傅立叶变换以他的名字命名,在物理学中,傅立叶定律也以他的名字命名。该定律表示:单位时间内通过给定截面的热量,正比例于垂直于该界面方向上的温度变化率和截面面积,而热量传递的方向则与温度升高的方向相反
傅立叶定律可以用微分方程表示为q=-λdt/dx
其中λ为导热系数,dt/dx是温度变化率
牛顿是个物理学家同时也是个数学家,并且是微积分的创始人。他提出了一个冷却公式q=h(t1-t2),其中,h是表面传热系数,t1和t2分别是固体表面和流体内部的温度。
在固体表面的流体区域里,有个薄层,称为附面层,附面层厚度为∆x
牛顿非常清楚dt/dx的物理意义,这个微分公式可以表示成一个差分公式(t1-t2)/( ∆x)。
牛顿公式中的表面传热系数h的物理意义其实就是λ/∆x
所以,牛顿冷却公式和傅立叶定律其实是一回事,是同一物理模型的不同数学描述。

斯忒潘-玻尔兹曼定律来源于近代的量子物理。一个黑体表面单位面积在单位时间内辐射出的总能量J与黑体本身的热力学温度T的四次方成正比,其中比例系数就是斯忒潘-玻尔兹曼常数σ,这个符号念sigma
常见物质的导热系数
空气0.024
玻璃 0.78

我们来做个简单的计算,室温ti取20度,水温tw=28度。
设鱼缸里面有水泵,内部对流条件非常好,温度为均匀的28度。
鱼缸水体、鱼缸外侧空气和鱼缸玻璃的温度过度曲线大概是如下图这样的:
鱼缸上盖内外侧的水温和空气温度的过度曲线大概是如下图这样的:

大概估计一下:玻璃内侧温度t1=28摄氏度,玻璃外侧温度t2=27摄氏度,玻璃厚度∆x =5mm。
对于鱼缸侧面的玻璃,导热热流密度可以这样得到:q1=(t1-t2)/( ∆x /λ)
做热力学计算时候要把摄氏温度C转换成热力学温度K来计算。求温差时候,不管单位是K还是C,差值都一样,所以可以像下式那样写(单位转换时加273和减273互相抵消)。
把数值代入,q1=(28-27)/(0.005/0.78)=156瓦每平方米
鱼缸侧面玻璃的热导功率可以这样得到:Q1=Aq1,其中A是换热面积
对于一个长宽高分别为L=70厘米、W=25厘米、H=30厘米的鱼缸,侧面的4块玻璃的总面积可以这样得到:A=2*L*H+2*W*H
把数值代入,别忘了把单位厘米转化为国际单位米,A=2*0.7*0.3+2*0.25*0.3=0.57平方米
侧面玻璃的导热功率可以代入数值得到:Q1=Aq1=156*0.57=88.92瓦

当然,对于一个温暖的鱼缸,红外辐射功率也是要考虑的。通过侧面玻璃的辐射热流密度可以这样得到:q2=σ(T2^4-Ti^4),温度要用热力学温度,单位K
20摄氏度=293K
27摄氏度=300K
上式中,斯忒潘-玻尔兹曼常数σ为5.67乘10的负8次方
代入可得:q2=5.67*0.00000001(300^4-293^4)=41.388瓦每平方米
鱼缸侧面玻璃的辐射功率可以这样得到:Q2=εAq2,其中A是换热面积0.57平方米。ε是玻璃的热辐射发射率,玻璃的值为0.9
代入数值Q2=0.9*0.57*41.388=21.23瓦

还有个鱼缸上盖的散热也要考虑。
鱼缸上盖是块玻璃,厚度也是5mm。水面距离上盖10cm,这段距离里面的物质,当然就是导热系数为0.024的空气了。
鱼缸上盖的导热热流密度可以这样得到:q3=(tw-ti)/( ∆x 1/λ1+∆x 2/λ2) ,标号1和2分别代表玻璃层和空气层
代入数值可得,q3=(28-20)/(0.005/0.78+0.1/0.024)=1.917瓦每平方米
在上式中,分母第二项的数量级远远小于分母第一项。在计算时候,分母第一项其实可以舍去。其物理意义为,10厘米空气层的保温性能太好了,其热阻远远超过5毫米玻璃层。
鱼缸上盖的热导功率可以这样得到:Q3=A3q3,其中A3是上盖换热面积
上盖面积可以这样得到:A3=L*W=0.7*0.25=0.175平方米
代入可得上盖热导功率Q3=0.175*1.917=0.335瓦
数量级对于鱼缸侧面玻璃的热导功率来说,差出3个数量级,差不多也可以忽略不计了。

鱼缸水面向上的热辐射功率是要考虑的,q4=σ(Tw^4-Ti^4),大写的T表示热力学温度
20摄氏度=293K
28摄氏度=301K
代入数值可得q4=5.67*0.00000001(301^4-293^4)=47.542瓦每平方分米
鱼缸水面向上的辐射功率可以这样得到Q4=εAq4,其中A是上盖换热面积0.175平方米,ε是玻璃的热辐射发射率,水的值为0.98
代入数值,可得Q4=0.98*0.175*47.542=8.15瓦

这样,室温20度且鱼缸28度时候的鱼缸总的散热功率可以求得为Q=Q1+Q2+Q3+Q4=88.92+21.23+0.33+8.15=118.63瓦
Q是个随温度增长的函数,水温越高,散热功率越大,最后与加热功率平衡。

以上就是文章一开始提到的通过室温值来调节加热功率然后稳定水温的内在物理机理。

讨论:鱼缸内外壁温差在本文中使用了一个估计值,更精确的值可以通过外层空气导热率计算得到,原理与计算鱼缸上盖散热功率的公式其实是一样的。鱼缸表面的空气附面层厚度大约是几个毫米。在这附面层厚度内,空气温度慢慢地从玻璃外层温度过度到室温。

最后,感谢庆科和云汉提供的这次评测机会,我会在接下来的文章里多发一点干货,与大伙儿一起学习和分享该开发板的相关知识。

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理论上,理论和实践是没有差异的。但实践中,是有的。
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